Příprava na první test

Znalost hradel a operátorů Booleovy algebry

V tomto předmětu používáme hradla:

BUFFER, NOT
AND, NAND
OR, NOR
XOR, XNOR

Existují i další hradla (zejména implikace ( $⟹$ ) ve výrokové logice), ale ty nebudeme potřebovat.

Ke každému hradlu je potřeba znát:

Název (AND)
"Distinctive shape" tvar hradla (podle IEEE Std 91/91a-1991)
Výraz/operátor v Booleově algebře ( $X = A \cdot B$ )
Pravdivostní tabulku, neboli jeho chování

V testu je potřeba na základě jednoho z těchto údajů vypsat všechny 3 ostatní, pro všechny hradla.

Podle názvu

Zadání

Nakresli logická hradla, zapiš operátor hradla jako výraz (např. X=A+B), nakresli pravdivostní tabulku.

a) NOT

Řešení

$X = \overline{A}$

A	X
0	1
1	0

b) OR

Řešení

$X = A + B$

A	B	X
0	0	0
0	1	1
1	0	1
1	1	1

c) XNOR

Řešení

$X = \overline{A \oplus B}$

A	B	X
0	0	1
0	1	0
1	0	0
1	1	1

d) AND

Řešení

$X = A \cdot B$

A	B	X
0	0	0
0	1	0
1	0	0
1	1	1

Podle tvaru

Zadání

Pojmenuj následující hradla, zapiš jejich výraz a pravdivostní tabulku.

Řešení

NOR

$X = \overline{A + B}$

A	B	X
0	0	1
0	1	0
1	0	0
1	1	0

Řešení

XOR

$Y = A \oplus B$

A	B	Y
0	0	0
0	1	1
1	0	1
1	1	0

Řešení

NAND

$Z = \overline{A \cdot B}$

A	B	Z
0	0	1
0	1	1
1	0	1
1	1	0

Řešení

BUFFER

$W = A$

A	W
0	0
1	1

Podle výrazu nebo podle tabulky

I to se může stát.

Převod mezi obvodem, výrazem a pravdivostní tabulkou

V prvním testu stačí pouze:

obvod $\to$ tabulka
výraz $\to$ tabulka
obvod $\leftrightarrow$ výraz

Pokud k tomu nejste explicitně vyzváni, výraz žádným způsobem neupravujte/neminimalizujte! Správný výraz je ten, který přesně odpovídá zadanému zapojení (vyjma: komutativity, asociativity).

obvod $\to$ výraz

Zadání

Zapiš výraz pro výstupy zapojení a pro označené vodiče.

Řešení

označené vodiče:

a) $A \cdot B$

b) $\overline{C}$

výstupy:

$X = (A \cdot B) \oplus \overline{C}$

Řešení

označené vodiče:

a) $\overline{A}$

b) $B + C$

c) $\overline{(B + C) \oplus D}$

výstupy:

$X = \overline{A} \cdot (B + C)$

$Y = (B + C) \cdot \overline{(B + C) \oplus D}$

výraz $\to$ obvod a tabulka

Zadání

Nakresli zapojení pro následující výraz a nakresli pravdivostní tabulku.

$X = (A \cdot B) + (\overline{A \oplus C}) + \overline{B}$

Řešení - zapojení

Taktéž v zapojení lze použít jeden třívstupový OR, jelikož sčítání je asociativní a komutativní.

Řešení - tabulka

Vytváření tabulky si ulehčíme spočítáním sloupců pro námi zvolené podvýrazy ( $A \cdot B$ , $\overline{A ⨁ C}$ a $\overline{B}$ ). Jejich hodnoty použijeme v dalších výpočtech, abychom se vyhnuli chybám při počítání komplikovaných výrazu z hlavy. Pokud víme na první pohled hodnoty některých řádků výsledku, můžeme je vyplnit hned do výsledku a v pomocných sloupcích je přeskočit. Nutné sloupce jsou pouze vstupy ( $A$ , $B$ , $C$ ) a výstupy ( $X$ ).

$A$	$B$	$C$	$A \cdot B$	$\overline{A \oplus C}$	$\overline{B}$	$X$
0	0	0	0	1	1	1
0	0	1	0	0	1	1
0	1	0	0	1	0	1
0	1	1	0	0	0	0
1	0	0	0	0	1	1
1	0	1	0	1	1	1
1	1	0	1	0	0	1
1	1	1	1	1	0	1

Je důležité aby tabulka byla dobře zarovnaná a aby její řádky byly seřazené podle numerické hodnoty vstupů, pro lepší čitelnost.

Cvičebnice

Pro další procvičování je zde k dispozici 8 dalších logických funkcí ve všech tří nám známých reprezentacích. Rozbalte si jednu z nich jako zadání a snažte se vytvořit ostatní dvě (pokud byl tento postup již probrán). Navíc je zde uvedený minimální výraz pro danou logickou funkci, který se bude hodit na procvičování zjednodušování výrazů.

X1

Výraz

$X1 = (A \cdot \overline{B} + \overline{A}) \cdot B \cdot \overline{A + \overline{B}}$

Zapojení

Pravdivostní tabulka

A	B	X1
0	0	0
0	1	1
1	0	0
1	1	0

Minimalizovaný výraz

$X1 = \overline{A} \cdot B$

X2

Výraz

$X2 = \overline{(A \cdot B + \overline{A}) \cdot C} + (B \cdot \overline{C} + A) \cdot \overline{B}$

Zapojení

Pravdivostní tabulka

A	B	C	X2
0	0	0	1
0	0	1	0
0	1	0	1
0	1	1	0
1	0	0	1
1	0	1	1
1	1	0	1
1	1	1	0

Minimalizovaný výraz

$X2 = \overline{C} + A \cdot \overline{B}$

X3

Výraz

$X3 = (A + B) \cdot (B + C) \cdot (\overline{A} + \overline{C})$

Zapojení

Pravdivostní tabulka

A	B	C	X3
0	0	0	0
0	0	1	0
0	1	0	1
0	1	1	1
1	0	0	0
1	0	1	0
1	1	0	1
1	1	1	0

Minimalizovaný výraz

$X3 = B \cdot \overline{A \cdot C}$

X4

Výraz

$X4 = (A \cdot B + B) \cdot \overline{C} \cdot (A \cdot \overline{B} + \overline{\overline{A} + C})$

Zapojení

Pravdivostní tabulka

A	B	C	X4
0	0	0	0
0	0	1	0
0	1	0	0
0	1	1	0
1	0	0	0
1	0	1	0
1	1	0	1
1	1	1	0

Minimalizovaný výraz

$X4 = A \cdot B \cdot \overline{C}$

X5

Výraz

$X5 = (\overline{(A + B) \cdot (\overline{A} \cdot C + \overline{B})} + B) \cdot \overline{(A + \overline{B}) \cdot \overline{C}}$

Zapojení

Pravdivostní tabulka

A	B	C	X5
0	0	0	0
0	0	1	1
0	1	0	1
0	1	1	1
1	0	0	0
1	0	1	0
1	1	0	0
1	1	1	1

Minimalizovaný výraz

$X5 = \overline{A} \cdot C + \overline{A} \cdot B + B \cdot C$

X6

Výraz

$X6 = \overline{A} \oplus A \oplus B$

Zapojení

Pravdivostní tabulka

A	B	X6
0	0	1
0	1	0
1	0	1
1	1	0

Minimalizovaný výraz

$X6 = \overline{B}$

X7

Výraz

$X7 = (A \cdot (B \oplus C) + \overline{A}) \cdot \overline{B \oplus C}$

Zapojení

Pravdivostní tabulka

A	B	C	X7
0	0	0	1
0	0	1	0
0	1	0	0
0	1	1	1
1	0	0	0
1	0	1	0
1	1	0	0
1	1	1	0

Minimalizovaný výraz

$X7 = \overline{A + (B \oplus C)}$

X8

Výraz

$X8 = (A \oplus B) \cdot (A \oplus \overline{B}) + \overline{\overline{A} \oplus B}$

Zapojení

Pravdivostní tabulka

A	B	X8
0	0	0
0	1	1
1	0	1
1	1	0

Minimalizovaný výraz

$X8 = A \oplus B$

Příprava na druhý test

✏️ TODO: druhý test

5. Zjednoduš následující výraz do co nejjednodušší podoby

Výsledek zde: $□$

$X = (A C + C + B) + \overline{B \cdot \overline{C}} + \overline{C} (\overline{A} C + C)$

Řešení

$X = (C + B) + (\overline{B} + C) + \overline{C} (C)$ absorbce, De Morgan, absorbce

$X = C + B + \overline{B} + C$ asociativita, vyloučení třetího a neutralita 0

$X = C + 1$ idempotence, vyloučení třetího

$X = 1$ agresivita 1

Výsledek zde: $□ + □$

$X = (A + C) (A \cdot B + \overline{\overline{A} + B}) + A C + C$

Řešení

$X = (A + C) (A \cdot B + A \cdot \overline{B}) + C$ De Morgan, absorbce

$X = (A + C) (A \cdot (B + \overline{B})) + C$ distributivita (vytkutí násobení)

$X = ((A + C) \cdot A) + C$ vyloučení třetího a neutralita 1

$X = A + C$ absorbce

Pro další procvičení mohou posloužit příklady ze cvičebnice pro první test, kde je uvedená i minimalizovaná podoba výrazu.

APS Skripta