Booleova algebra

Booleova algebra je algebraická struktura se dvěma binárními a jednou unární operací.

Jedná se o šestici ( $A$ , $\land$ , $\lor$ , $-$ , $0$ , $1$ ), kde $A$ je neprázdná množina

Nejmenší prvek $0 \in A$
Největší prvek $1 \in A$
Unární operace (negace) $\overline{0} = 1$

Budeme se soustředit na dvouprvkovou Booleovu algebru tj. budou 2 prvky:

$1$ - ( $t r u e$ )
$0$ - ( $f a l se$ )

Základní matematické symboly

Název	Znak	Definice
Negace	$\neg$ nebo $\overline{x}$	Neguje vstup, tedy z 1 dostaneme 0 a obráceně
Disjunkce (spojení)	$\lor$ nebo $+$	Logické nebo
Konjunkce (průsek)	$\land$ nebo $\cdot$	Logické a

Axiomy

Název	Součet	Součin
komutativní	$x + y = y + x$	$x \cdot y = y \cdot x$
distrubutivní	$(x + y) \cdot z = x \cdot z + y \cdot z$	$(x \cdot y) + z = (x + z) \cdot (y + z)$
neutralita 0 a 1	$x + 0 = x$	$x \cdot 1 = x$
agresivita 0 a 1	$x + 1 = 1$	$x \cdot 0 = 0$
vyloučení třetího	$x + \overline{x} = 1$	$x \cdot \overline{x} = 0$

Prohozením $0 ⇋ 1$ a zároveň $+ ⇋ \cdot$ v celém obvodu/výrazu zůstane chování (logická funkce) zachovaná (samozřejmě při prohození 1 a 0 i na vstupech/výstupech). Toto chování vychází ze symetrie námi vybraných operátorů $+$ a $\cdot$ k modelování Booleovy algebry.

Výraz	Duální výraz
$x \cdot \overline{y + \overline{z}}$	$\overline{\overline{x} + \overline{\overline{y} \cdot \overline{\overline{z}}}}$

De Morganovy zákony

Zákon
$\overline{x} + \overline{y} = \overline{(x \cdot y)}$
$\overline{x} \cdot \overline{y} = \overline{(x + y)}$

Zákon je efektivně lokální aplikací duality Booleovy algebry. Pokud v nějaké sekci obvodu vyměníme $+$ (OR) za $\cdot$ (AND) a obráceně, a na rozhraní sekce všechny znegujeme všechny signály (tím uvnitř sekce vyměníme 1 a 0), tak chování celého obvodu zůstane zachováno.
Z toho vyplývá, že lze vytvořit verzi De Morganových zákonů i pro 3 a více vstupů, klidně s odlišnými operátory.

Užitečné zákony

Název	Součet	Součin
asociativní	$x + (y + z) = (x + y) + z$	$x \cdot (y \cdot z) = (x \cdot y) \cdot z$
o idempotenci prvků (absorbce)	$x + x = x$	$x \cdot x = x$
absorbce	$x + x \cdot y = x$	$x \cdot (x + y) = x$
dvojí negace	$\overline{\overline{x}} = x$	$\overline{\overline{x}} = x$

Hradlo XOR

Hradlo XOR můžeme kdykoliv zaměnit za disjunktivní normální formu (DNF) jeho logické funkce:

$x \oplus y = x \cdot \overline{y} + \overline{x} \cdot y$